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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.4.
Dadas las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$, indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.
b) $f(x)=x^{5}-20 x+2, x \in[-1,3]$
b) $f(x)=x^{5}-20 x+2, x \in[-1,3]$
Respuesta
Vamos a estudiar la función $f(x)=x^{5}-20 x+2, x \epsilon[-1,3]$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Máximos y mínimos absolutos}$.
Fijate que es la misma $f$ que estudiamos en el punto anterior, pero ahora definida en un intervalo diferente.
En este caso, $f$ está definida en un intervalo cerrado y acotado, $[-1,3]$, y es continua en este intervalo. Por lo tanto, por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que $f$ va a alcanzar máximo y mínimo absoluto en este intervalo.
$\textbf{1)}$ Empecemos derivando $f$
\( f'(x) = 5x^4 - 20 \)
$\textbf{2)}$ Igualamos $f'$ a cero y despejamos:
Esto ya lo hicimos en el punto anterior y vimos que los puntos críticos eran $x=-\sqrt{2}$ y $x=\sqrt{2}$. Pero ojo, en este caso $x=-\sqrt{2}$ NO pertenece al intervalo $[-1,3]$, por lo que NO lo consideramos.
Además, acordate que los extremos del intervalo $[-2,3]$ también son extremos de la función.
$\textbf{3)}$ Evaluamos $f$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo
- \( f(-1) = 21 \)
- \( f(\sqrt{2}) \approx -20.62 \rightarrow \) Mínimo absoluto
- \( f(3) = 185 \rightarrow \) Máximo absoluto
La imagen de $f$ es $[f(\sqrt{2}), f(3)]$. Es decir, desde lo que vale la función en el mínimo absoluto hasta lo que vale la función en el máximo absoluto ;)